Safaa
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Albert Einstein

     
   

Un problème simple

    Bonjour,

Je me présente: je m'appelle Safaa Nemlaghi, je suis en seconde et j'aurai bientôt 15 ans. Je voudrais vous poser une question simple: prouvez-moi que 1 = 0.99999...

Je ne serais pas étonnée que vous trouviez la réponse assez vite, et je vous remercie de votre minute d'attention (sachant qu'une minute vaut 60 secondes).

Safaa
 

Cher Safaa,

Posons
x = 0.9999...
alors 10x = 9.9999... (infini)
alors 10x = 9 + x
alors 10x - x = 9
alors 9x = 9
alors x = 1
alors 0.9999.. (infini) = 1

Mais attention, cette démonstration évacue le principe de limite; or il est essentiel ici.
Le célèbre paradoxe d'Achille évoqué par Easythomas se trouve résolu par l'introduction de la notion mathématique de «limite»:

On suppose que la tortue a 100 m d’avance sur Achille.
V (Tortue) = 1 m/s et V (Achille) = 10m/s
Achille parcourt les 100 m de son retard en 10 s tandis que la tortue avance de 10 m.
Achille mettra 1s pour parcourir les 10 m tandis que la tortue a avancé d’1 m, et ainsi de suite…

Le temps nécessaire pour rattraper la tortue s’écrit donc:
T = 10 s + 1 s + 1/10 s + 1/100 s, etc.

Ceci est une suite infinie. On peut donc penser qu’Achille ne rattrapera jamais la tortue.
En réalité, il s’agit d’une progression géométrique de raison q = 1/10.
On peut donc écrire sa somme, N étant le nombre infini de termes de cette suite: S = 10 × [ 1- (1/10) ^N ]/ [ 1- (1/10) ]
Or, lorsque N tend vers l’infini, (1/10) ^N tend vers 0.
Donc, lorsque N tend vers l’infini, lim S = 10 / [ 1 - (1/10) ] = 100/9 = 11.111s.

Le calcul montre qu’Achille rattrapera la tortue au bout d’environ 11 s 1/9.
Le paradoxe posé dans ce sujet se résout également de la même façon!

Albert Einstein