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Albert Einstein

     
   

Sens et valeur

    Salut,

J'ai vu l'équation de la relativité générale mais je ne comprends pas vraiment le sens des differents tenseurs et leurs valeurs. Pourrais-tu me les expliquer.

Merci
 

Chère Martine,

L'équation de la relativité générale peut se résumer en Courbure = Matière. En d'autres mots, l'espace agit sur la matière et lui indique comment elle doit se déplacer, et la matière agit sur l'espace et lui indique comment il doit se courber.

L'image traditionnelle de la boule pesante qui déforme un drap est trompeuse. Les masses gravitationnelles, comme le soleil ou les planètes, courbent bien l'espace-temps dans toutes les dimensions spatio-temporelles, et pas seulement dans un plan. L'image d'une boule sur un drap n'est en fait qu'un moyen rapide de saisir l'action gravitationnelle, mais cela est loin de représenter la réalité. C'est justement là le rôle des différents tenseurs dans l'équation.

Les tenseurs sont essentiels dans la relativité générale. Voici de quoi il retourne. Le calcul vectoriel classique est une technique simple et efficace qui s'adapte parfaitement à l'étude des propriétés mécaniques et physiques de la matière dans l'espace euclidien à trois dimensions. Cependant, dans de nombreux domaines de la physique, il apparaît des grandeurs expérimentales qui ne peuvent plus être facilement représentées par de simples vecteurs-colonnes d'espaces vectoriels euclidiens. C'est le cas par exemple en mécanique des milieux continus, fluides ou solides, en électromagnétisme, relativité générale, etc.

Le tenseur est une généralisation de la notion de vecteur, dans l'étude des espaces vectoriels à n dimensions. Les tenseurs sont également des vecteurs de dimension quelconque mais qui possèdent des propriétés supplémentaires par rapport aux vecteurs.

Dès la fin du 19ème siècle, l'analyse des forces qui s'exercent à l'intérieur d'un milieu continu a conduit à mettre en évidence des grandeurs physiques caractérisées par neuf nombres représentant les forces de pression ou de tension internes. La représentation de ces grandeurs nécessita l'introduction d'un nouvel être mathématique qui fut appelé «tenseur», par référence à son origine physique (en fait, il s'agit de matrices sur lesquelles nous définissons des opérations mathématiques propres au domaine de la physique). Par la suite, à partir de 1900, ce furent R. Ricci et T. Lévi-Civita qui développèrent le calcul tensoriel; puis l'étude des tenseurs permit un approfondissement de la théorie des espaces vectoriels et contribua au développement de la géométrie différentielle.

Le calcul tensoriel a également pour avantage de se libérer de tous les systèmes de coordonnées et leurs formes sont ainsi invariantes (énorme allègement des calculs). Il n'y a plus alors à se préoccuper dans quel référentiel il convient de travailler, et cela est très intéressant en relativité générale (il est possible de reformuler toute la physique sous forme tensorielle).

Dans tous les cas, je conseille vivement aux étudiants de bien maîtriser les bases du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire, avant de s'attaquer au calcul tensoriel.

Je comprends très bien votre question ou, plutôt, votre interrogation sur les tenseurs. Je n'étais pas du tout familier moi non plus avec ces objets opérateurs mathématiques lorsque mon ami Grossman m'a parlé d'eux. Mais malheureusement pour tous ceux qui ne sont pas familiers avec ces objets, ils sont bel et bien essentiels à la modélisation des équations de la relativité Générale. J'ai bien dit Générale. On peut aisément conceptualiser la relativité Restreinte au moyen de transformations de Lorentz, mais la Générale doit être décrite avec des tenseurs. Loin d'être des démons mathématiques, les tenseurs sont utilisés pour désigner les tiraillements et les tensions que subissent les surfaces d'un solide comprimé ou dilaté. Il s'agit d'un simple tableau contenant des opérateurs où sont rangées les composantes des tensions selon chaque direction. À partir des espaces de Riemann, Ricci a généralisé le concept. Un tenseur généralisé est donc défini par la façon particulière dont il se transforme quand on passe d'un système de coordonnées à un autre. Ainsi, les équations qui mettent en jeu des tenseurs conservent la même forme quand on change de coordonnées. N'est-ce pas là ce dont j'avais exactement besoin?

L'un des tenseurs utilisé est le tenseur d'énergie-impulsion. Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4x4 réelle symétrique.

Le voici :





ou, d'une manière imagée:



On y retrouve les grandeurs physiques suivantes :

T00 est la densité volumique d'énergie. Elle est positive.
T10, T20, T30 sont les densités de moments.
T01, T02, T03 sont les flux d'énergie.

La sous-matrice 3 x 3 (ci-dessous) des composantes spatiale-spatiale :
 


est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

Dans l'équation de la relativité générale, nous retrouvons également le tenseur de Ricci. Il est beaucoup plus difficile à décrire, aussi, je vais vous faire grâce de certains détails.

Dans le cadre de la théorie de la Relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Cette déformation est exprimée à l'aide du Tenseur de Ricci, dont le nom a été attribué à son inventeur, Gregorio Ricci-Curbastro. Le tenseur de Ricci est un tenseur d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le Laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemanniennes. Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, relation principale de la relativité générale.

Le tenseur de Ricci s'obtient à partir du tenseur de courbure de Riemann R, qui exprime la courbure de la variété (dans le cas de la Relativité générale, de l'espace-temps), à l'aide d'un réduction d'indices du tenseur. Il peut s'exprimer notamment à partir des coefficients de Christoffel, qui représentent l'évolution des vecteurs de base d'un point à l'autre de l'espace-temps, due à la courbure de ce dernier. Ces coefficients dépendent alors directement de la métrique de l'espace (de la variété), qui est un outil mathématique permettant de définir les distances au sein de l'espace.

Les coefficients de Christoffel  s'expriment :



Albert Einstein